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% Präamble
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% Grundeinstellungen
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% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Beginn eigentliches Dokument
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Deckblatt
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{titlepage}
\noindent
Luitpold-Gymnasium \hfill Abiturjahrgang\\
Wasserburg \hfill 2021/2023
\begin{center}
\vspace*{1cm}
\huge{\textbf{Seminararbeit}}\\
\vspace*{0.5cm}
\normalsize{\textbf{Leitfach: Mathematik}}\\
\vspace*{1cm}
Rahmenthema des Wissenschaftspropädeutischen Seminars:\\
"$i$ - komplex, aber faszinierend"\\
\vspace*{1.4cm}
Thema der Arbeit:\\
\Large{\textbf{Die Mandelbrot-Menge und die\\ Erzeugung ihrer fraktalen Struktur}}\\
\end{center}
\vspace*{1.4cm}
\begin{flushleft}
\begin{tabular}{ll}
\hspace{0.1cm}Verfasser: \hspace*{3.9cm}& Markus Huber\\ %Hier statt XXX deinen Namen eintragen
\hspace{0.1cm}Kursleiter: & StR P. Giese\\
\hspace{0.1cm}Abgabetermin: & 08. November 2022\\
\end{tabular}
\end{flushleft}
%Benotungstabelle
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\vspace*{1cm}
\begin{table}[h]
\hspace*{-1.1cm} % horizontale Tabellenpos. einstellen
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\noindent
\textbf{Bewertung}\hspace*{3.7cm} & Note & \hspace*{0.5cm} Notenstufe in Worten \hspace*{0.5cm}& Punkte & & Punkte \\ \hline
schriftliche Arbeit & & & & x 3 & \\ \hline
Abschlusspräsentation & & & & x 1 & \\ \hline
\multicolumn{5}{r|}{Summe:}& \\ \cline{6-6}
\multicolumn{5}{r|}{Gesamtleistung (Summe : 2; gerundet)}& \\ \cline{6-6}
\multicolumn{6}{r}{}\vspace{2.8cm}\\
\hline
\multicolumn{6}{c}{Datum und Unterschrift des Kursleiters}
\end{tabular}
\end{table}
\end{titlepage}
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Zusammenfassung
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\thispagestyle{empty}
% Mit * -> * Unterdrückt Nummerierung..Unterüberschriften mit subsections
\section*{Zusammenfassung}
%Hier steht die Zusammenfassung
%Seitenumbruch
\newpage
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Inhaltsverzeichnis
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Inhalt
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\selectlanguage{ngerman}
\begin{comment}
*%
\begin{satz}
Für die Dimension der Kochkurve gilt: \\
\begin{center}
$d_s = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,2618$
\end{center}
\end{satz}
% OHNE $-Zeichen
\begin{equation*}
d_s = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,2618
\end{equation*}
\begin{equation}
d_s = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,2618
\end{equation}
\begin{figure}[h] % h : erzwinge position hier
\centering
\includegraphics[scale=0.1]{Koch.jpg} %Name
\caption[Bild für Abbildverzeichnis]{Bildunterschrift mit . am Ende.\footnote{Quelle: \url{https://ka.de}, abgerufen am 12.5.22}}
\end{figure}
\begin{figure}[h] % h : erzwinge position hier
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{Kurve.png} %Name
\caption[Bild für Abbildverzeichnis]{Bildunterschrift mit . am Ende.\footnote{Quelle: \url{https://ka.de}, abgerufen am 12.5.22}}
\end{figure}
\end{comment}
\section{Benoît Mandelbrot als Vater der fraktalen Geometrie}
\begin{itemize}
\item Wer war Benoît Mandelbrot? - Biografische Daten ( Geburtstag , Todesdatum, Beruf, ... )
\footcite[Benoît Mandelbrot]{WikiBenoitMandelbrot}
\item Fraktale Geometrie als neuer Zweig der Mathematik
\footcite[S. 16]{DieFraktaleGeometrieDerNatur}
\item Benoît Mandelbrot Vater der Fraktale: Sein Werk \glqq Die Fraktale Geometrie der Natur\grqq{}
\item Kurz: Was sind Fraktale
\item Überleitung zum Fraktal: Die Mandelbrot-Menge
\end{itemize}
\section{Die Mandelbrot-Menge aus mathematischer Sicht}
\begin{itemize}
\item Bereits erstmals von Brooks und Matelski oder Fatou untersucht, aber bekannt geworden durch Benoît Mandelbrot
\footcite[vgl.][Mandelbrot-Menge]{WikiMandelbrotMenge}
\footcite[vgl.][]{MandelbrotmengeHAWHamburgVorlesung}
\item Einleitung in mathematischen Teil der Mandelbrot-Menge
\end{itemize}
\newpage
\subsection{Das Verfahren der Iteration}
Vor der Definition der Mandelbrot-Menge sollte zuerst geklärt werden,
was unter einer Iteration zu verstehen ist. In der Mathematik ist damit die
schrittweise Wiederholung einer Rechenvorschrift gemeint. Wird dabei immer das Ergebnis der letzten
Berechnung für die Nächste verwendet, so spricht man von einer Rekursion.
\footcite[vgl.][S. 8]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
Diese ist wie folgt definiert:
% \begin{comment}
\begin{definition}[aus Graf 2009, S. 8]
Eine Folge von komplexen Zahlen \( \{ z_{ n } \}^{ \infty }_{ n=0 } \) heißt rekursive Folge, wenn es
einen Startwert \( z_{0} \in \mathbb{C} \), und eine Funktion $ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ gibt, so dass
\begin{center}
\begin{math}
z_{ n+1 } = f\left( z_{ n } \right), \quad f\ddot{u}r\:\: n = 0,1,....
\end{math}
\end{center}
gilt.
\end{definition}
% \end{comment}
Der Startwert, meist $z_{0}$ genannt, muss dabei zu Beginn festgelegt werden.
Man setzt also den Startwert in die Rechen- bzw. Iterationsvorschrift ein und berechnet das Ergebnis. Dieses bildet dabei den Startwert, also den Wert den man für $z_{n}$ einsetzt, des nächsten Rechendurchlaufs. Den Vorgang wiederholt man nun beliebig oft, um sich schrittweise einer Lösung immer genauer anzunähern. Der Index $n$, beginnend bei $n=0$, steht dabei für die Anzahl der Iterationsdurchläufe und divergiert bei fortlaufenden Berechnungen gegen $\infty$. Eben durch ein solches Verfahren, berechnet man auch die Mandelbrot-Menge:
\subsection{Die Definition der Mandelbrot-Menge}
Die Mandelbrot-Menge M ist die Menge aller komplexen Zahlen, deren Folge durch die Iterationsvorschrift
\begin{equation}
\label{eq:equation_mandelbrot_set}
z_{n+1} = z^{2}_{n} + c
\end{equation}
mit dem Startwert $z_{0} = 0$ beschränkt bleibt, also nicht gegen Unendlich strebt.
%\footcite[vgl.][S. 6]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\footnote{vgl. a. a. O, S. 6}
Mathematisch lässt sich diese wie folgt definieren:
% \begin{comment}
\begin{definition}[aus Graf 2009, S. 7]
Die Mandelbrot-Menge ist die Menge M, für die gilt
\center
\begin{math}
\mathbb{M} := \{ c \in \mathbb{C}: \lim\limits_{n\to\infty}|z_{n}| \neq \infty \text{ mit } z_{n} = z^{2}_{n-1} + c, z_{0} = 0 \text{ und } n \in \mathbb{N} \}
\end{math}
\end{definition}
% \end{comment}
Man wählt also eine beliebige Zahl c $\in \mathbb{C}$ und berechnet deren rekursive Iterationsfolge mit dem Startwert $z_{0}=0$ nach dem Prinzip der Iteration, welche anfangs bereits erläutert wurde.
\newpage
Allgemein würde das für die Vorschrift (\ref{eq:equation_mandelbrot_set}) folgendermaßen aussehen:
\vspace{-7mm}
\begin{align}
z_{0} &= 0 \notag\\
z_{1} &= z_{0} + c = c \notag\\
z_{2} &= z_{1}^{2} + c = c^{2} + c \notag\\
z_{3} &= z_{2}^{2} +c = (c^{2}+c)^{2} + c \quad \textrm{usw.} \notag
\end{align}
Dabei ergeben sich zwei übergeordnete Möglichkeiten, entweder geht die Zahl z mit zunehmendem Index $n$ gegen $\infty$, die Iterationsfolge divergiert und ist unbeschränkt, oder sie bleibt endlich und der Limes ist ungleich $\infty$. Während die Startwerte, die beschränkte Folgen bilden, zur Mandelbrot-Menge bzw. Gefangenenmenge $\mathbb{M}$ gehören, nennt man die restliche Menge Fluchtmenge $\mathbb{C}$ \textbackslash\: $\mathbb{M}$.
\footcite[vgl.][S. 1]{JugendForscht_Wohlgeformte_Grenzlinien}
\subsection{Das Verhalten der Zahlenfolge im Zuge der Iteration}
Welche Zahlenfolgen sich für die Teilmenge $\mathbb{M}$ ergeben können, soll durch die folgende Beispiele veranschaulicht werden:
% \begin{comment}
\begin{figure}[h] % h : erzwinge position hier
\begin{center}
\begin{tabular}[h]{l|c|c|c|c}
$ z_{1} = c $ & $ z_{2} $ & $ z_{3} $ & $ z_{4} $ & $ z_{5} $ \\
\hline
$ c = 1 $ & $ 2 $ & $ 5 $ & $ 26 $ & $ 667 $ \\
\hline
$ c = 0.1000 $ & $ 0.1100 $ & $ 0.1121 $ & $ 0.1126 $ & $ 0.1127 $ \\
\hline
$ c = -1.500 $ & $ 0.750 $ & $ -0.938 $ & $ -0.621 $ & $ -1.114 $ \\
\hline
$ c = +i $ & $ -1+i $ & $ -i $ & $ -1+i $ & $ -i $
\end{tabular}
\end{center}
\caption[Eigene Beispiele zur Zahlenfolge der Iteration]{Eigene Beispiele zur Zahlenfolge der Iteration.} \label{tab:beispielwertetabelle}
\end{figure}
% \end{comment}
%\ref{tab:beispielwertetabelle}
Wie man in der Tabelle sieht, geht der Startwert c = 1 gegen Unendlich und ist folglich nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Das Verhalten der beschränkten Zahlenfolgen lässt sich dagegen in drei Typen aufteilen. Entweder konvergiert sie gegen einen Fixpunkt (z.B. bei c = 0.1), das heißt sie nähert sich einem Punkt immer weiter an, oder sie pendelt asymptotisch periodisch zu einer Folge mit Periode $q \in \mathbb{N}$, $q=2,3,4,...$ (z.B. bei c = i). Gemeint ist damit, dass sich die Folge zwei oder mehreren Punkten periodisch abwechselnd annähert oder zwischen diesen hin und her wechselt, also in diesem Fall zwischen $-i$ und $-1+i$.
Man spricht dabei von Punkten, da die Zahlen, dargestellt auf der Gaußschen Zahlenebene, gemeint sind.
Die letzte Möglichkeit ist ein aperiodisches Verhalten, bei dem die Folge ein chaotisches, scheinbar zufälliges, Verhalten aufzeigt (z.B. bei c = -1.5).
\footnote{vgl. a. a. O, S. 2} %JugendForscht_Wohlgeformte_Grenzlinien
Doch was genau sind Fixpunkte eigentlich?
\newpage
\subsubsection{Die Fixpunkte einer Zahlenfolge}
Ein Fixpunkt einer Folge ist eine komplexe Zahl, die auch bei weiteren Iterationsdurchläufen konstant bleibt.\footcite[vgl.][S. 10]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge} Für einen Fixpunkt gilt folglich:
\begin{equation}
z_{n} = f(z_{n})
\end{equation}
%HIER aus Kardioide die Fixpunktgleichung erstellen und dann klar zeigen, dass Zahlenfolge und Fixpunkte was anderes sind, so was wie "Definitionslücken einer Funktion"
Es ist also egal, wie viele weitere Rechendurchläufe man durchführt, die Zahl $z$ verändert sich nicht mehr, $f(f(...f(z)...)) = z$. \\
Fixpunkte unterteilt man zudem anhand ihrer Beziehung zur Iterationsfolge. Grundsätzlich existieren nämlich drei verschiedene Arten von Fixpunkten: abstoßende, wenn sich die Zahlenfolge dem Fixpunkt entfernt, attraktive, wenn sie sich ihm nähert und indifferente, wenn beides möglich ist.
%\footcite[vgl.][S. 17]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\footnote{vgl. a. a. O, S. 17}
Mathematisch unterscheiden sich diese dabei hinsichtlich ihrer ersten Ableitung:
% \begin{comment}
\begin{definition}[nach Graf 2009, S. 17]
Ein Fixpunkt $z^*$ heißt
\textbf{abstoßend}, wenn \\ $ | f'(z^{*}) | > 1 $,
\textbf{indifferent}, wenn $ | f'(z^{*}) | = 1 $, und
\textbf{attraktiv}, wenn $ | f'(z^{*}) | < 1 $
gilt.
\end{definition}
% \end{comment}
Da sich z im Beispiel $c = 0.1$ ( vgl. Abbildung \ref{tab:beispielwertetabelle} ) scheinbar einem Fixpunkt immer weiter annähert, muss der Fixpunkt dieser Folge wohl ein attraktiver Fixpunkt sein. \\
%stellt dies Grafisch dar ( siehe Grafische Darstellung ... )
Berechnet man nun für möglichst alle Zahlen der Gaußschen Zahlenebene die Iterationsfolge, färbt jede Zahl die gegen einen oder mehrere Grenzpunkte konvergiert je nach der Anzahl dieser, so ergibt sich ohne Zeichnung des Koordinatensystems folgendes Bild:
% \begin{comment}
\begin{figure}[h] % h : erzwinge position hier
\centering
\includegraphics[scale=0.06]
{Mandelbrot_Set_Periodicities_coloured.png} %Name
\caption[Die Mandelbrot-Menge mit farbkodierter Periodenlänge der Grenzzyklen]
{Die Mandelbrot-Menge mit farbkodierter Periodenlänge der Grenzzyklen.
\footnote{Quelle:\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Mandelbrot_Set_-_Periodicities_coloured.png}, abgerufen am 14.6.22}}
\label{abb:mandelbrot_set_periodicities_coloured}
\end{figure}
% \end{comment}
Die Zahlen auf der Abbildung \ref{abb:mandelbrot_set_periodicities_coloured} stehen dabei für die Periodenzahl, also der Anzahl der Zahlenfolgen, zwischen denen z periodisch pendelt. Im Fall 1 liegt dementsprechend eine Konvergenz gegen einen Fixpunkt vor.
\begin{center}
--- Ende der zwei Seiten Fließtext für das Exposé ---
\end{center}
\subsubsection{Die Kardioide K der Mandelbrot-Menge}
Wie in Abbildung \ref{abb:mandelbrot_set_periodicities_coloured} außerdem zu erkennen ist, gibt es genau einen Bereich, in dem z gegen einen Fixpunkt konvergiert.
Der Bereich lässt sich jedoch nicht nur Grafisch darstellen, sondern auch mathematisch beschreiben. Die Kardioide, benannt nach dem griechischen Wort Kardia für Herz, % ( siehe Abb. 3 )
beschreibt die Grenzlinie der Startpunkte, die gegen einen Fixpunkt konvergieren.
Alle Startpunkte innerhalb der Kardioide nähern sich also einem Fixpunkt immer weiter an und sind so auch Teil der Mandelbrot-Menge, während alle außerhalb, von diesem abgestoßen werden.
\footcite[vgl.][S. 2]{JugendForscht_Wohlgeformte_Grenzlinien}
Definiert ist die Kardioide dabei wie folgt:
% \begin{comment}
\begin{definition}[aus Zimmer 2010, S. 2]
Für die Kardioide K gilt:
\begin{center}
\begin{math}
K := \{ z \in \mathbb{C}: z = \frac{1}{2}e^{i\varphi} - \frac{1}{4}e^{2i\varphi}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \}
= { x + iy : x = \frac{cos\varphi}{2} - \frac{cos2\varphi}{4}, y = \frac{sin\varphi}{2} - \frac{sin2\varphi}{4}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi }
\end{math}
\end{center}
\end{definition}
% \end{comment}
%...mandelbrot definition einsetzen -> auflösen nach fixpunkt gleichung der ersten iteration...
\begin{itemize}
\item Definition und Erklärung der Kardioide
\item Bild der Kardioide
\item Die Fixpunktgleichung der ersten Iteration; zeigen dass Fixpunkte abhängig sind von c
%Fixpunkte abhängig von C -> jeder startwert hat keine bzw, einen eigenen Fixpunkt, bzw eigene Fixpunkte und abhängig von der iteration -> später zeigen, bei bezug zu chaos
\item Satz \& Beweis der Kardioide vgl. 3. Jugend forscht 1. Teil ( Hierbei Grundlagen zu den Fixpunkten nötig )
%\footcite[vgl.][S. 2f]{JugendForscht_Wohlgeformte_Grenzlinien}
\footnote{vgl. a. a. O, S. 3}
\item => Dabei als Beweis, dass Punkte innerhalb K konvergiere, c=0.1 verwenden und zugehörigen Fixpunkt berechnen
\end{itemize}
\subsubsection{Die Periodenverdopplung und das Feigenbaum-Diagramm}
\begin{itemize}
\item c Werte bei c < minus 0.75: 2 Grenzwerte periodische Grenzzyklen
%Ohne weitere große Rechnungen:
\item Fixpunktgleichung der 2-ten bzw. n-ten Iteration
\item => Fixpunktanzahl verdoppelt sich ( Verweis auf Abbildung \ref{abb:mandelbrot_set_periodicities_coloured} )
\footcite[vgl.][S. 21ff]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\item Wie verhält sich die Folge für c kleiner minus 1.25: Feigenbaum-Diagramm und Bifurkation
\item Der Bezug zur Chaostheorie: Übergang zu chaotischem Verhalten durch stufenweise Zunahme der Periode um den Faktor zwei und Feigenbaum-Konstante als fundamentale Konstante der Chaostheorie
%\footcite[vgl.][S. 26ff]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\footnote{vgl. a. a. O, S. 26ff}
\end{itemize}
\subsection{Der Zusammenhang mit der Julia-Menge}
\begin{itemize}
\item Definition der Julia Menge ( mit Vergleich zu Mandelbrot-Menge Definition )
\footcite[]{Falconer_KennethJ}
\item -> Zu jedem Punkt ( der Mandelbrot-Menge ) lässt sich auch eine Julia Menge berechnen
\item Bild mit Julia Mengen aus stelle der Mandelbrot Menge + \glqq Beschreibung\grqq{} der Ähnlichkeiten
\footcite[vgl.][S. 44f]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\item Definition der Mandelbrot-Menge über die Julia Menge
\footcite[vgl.][S. 234f]{Falconer_KennethJ}
\end{itemize}
\subsection{Die Symmetrie bezüglich der x-Achse}
\begin{itemize}
\item Mathematischer Satz + Beweis der Symmetrie
\footcite[vgl.][S. 33ff]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\end{itemize}
\section{Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge}
\label{sec:DieGrafischeDarstellungDerMandelbrotMenge}
\begin{itemize}
\item Mandelbrot-Menge bekannt nicht durch \glqq Mathematik dahinter\grqq{}, sondern durch die Bilder
\end{itemize}
\subsection{Fraktale in der Gaußschen Zahlenebene}
\begin{itemize}
\item Wie man die Fraktale auf der Gaußschen Zahlenebene darstellt: Zuordnung Pixel und Komplexe Zahlen und Berechnung vieler Iterationen für jeden Pixel
\item Beispiel Bilder mit immer mehr Iterationen
\footcite[]{MandelbrotmengeHAWHamburgVorlesung}
\end{itemize}
%Der Beweis zur Divergenz für Punkte mit r > 2 /
\subsection{ Der Grenzwert 2 zur Berechnung der Mandelbrot-Menge}
\begin{itemize}
\item Um nicht \glqq unendlich lang\grqq{} die Iterationen durchführen zu müssen und um trotzdem zu wissen, dass ein Pixel nicht Teil der M-Menge ist -> Grenzwert 2
\item Satz und Beweis, dass die Zahlenfolge für \(|z|>2\) gegen Unendlich geht
\footcite[vgl.][S. 31ff]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\end{itemize}
\subsection{Die farbige Darstellung der Mandelbrot-Menge}
\begin{itemize}
\item Entstehung der Farben ( Farbe je nach Anzahl der Iterationen, bis ein Grenzwert größer gleich 2 erreicht wurde)
\footcite[]{MandelbrotmengeHAWHamburgVorlesung}
\end{itemize}
\subsection{Besondere Strukturen der Mandelbrotmenge}
\begin{itemize}
\item Besondere Eigenschaften zur Gesamtmenge: Rand-unendlich und Fläche-zusammenhängend\footcite[S. 36ff]{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge}
\item Kurze \glqq Bildershow\grqq{} durch die Mandelbrot-Menge
\end{itemize}
\subsubsection{Das Strukturelement des Satelliten}
\begin{itemize}
\item Bild, \glqq Beschreibung\grqq{} und \glqq Besonderheit\grqq{} des Strukturelements
\end{itemize}
\subsubsection{Das Strukturelement des Seepferdchen}
\begin{itemize}
\item Bild, \glqq Beschreibung\grqq{} und \glqq Besonderheit\grqq{} des Strukturelements
\end{itemize}
\subsubsection{Das Strukturelement der Spirale}
\begin{itemize}
\item Bild, \glqq Beschreibung\grqq{} und \glqq Besonderheit\grqq{} des Strukturelements
\end{itemize}
\section{Die praktische Umsetzung am Computer}
\begin{itemize}
\item Programmcodebeispiel zur Programmierung \footcite[]{Die_Mandelbrot-Menge_Theorie_und_Implementation}
und dessen Erklärung
\item Möglicherweise noch Umsetzungsschwierigkeiten
\end{itemize}
\section{Die Rezeption der Mandelbrot-Menge in der Öffentlichkeit}
\begin{itemize}
\item Durch Benoît Mandelbrot entstand ein \glqq Hype\grqq{} um Fraktale -> bis heute sehr bekannt
\item Viel auch in Pop-Kultur zu sehen: Mandelbrotmenge auf Kleidungsstücken
\item Reaktion anderer Mathematiker -> keine \glqq richtige\grqq{} Mathematik
\item Auswirkungen in Wissenschaft und Mathematik und Informatik
\footcite[]{Fraktale_Die_verborgene_Ordnung_der_Natur_Mandelbrot_und_seine_Welt}
\end{itemize}
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Verzeichnisse
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Literaturverzeichnis
\newpage
\addcontentsline{toc}{section}{Literaturverzeichnis}
\printbibliography
% Abbildungsverzeichnis
\newpage
\listoffigures
\newpage
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
% Anhang
% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\newpage
\noindent
Ich erkläre, dass ich die Arbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angegebenen Hilfsmittel benutzt habe.\\
\vspace*{3cm}
\begin{center}
\begin{tabular*}{\linewidth}{c}
\hline{}
\hspace{8cm} Datum und Unterschrift des Verfassers\\
\end{tabular*}
\end{center}
\end{document}

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100
literatur.bib Normal file
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@book{DieFraktaleGeometrieDerNatur,
author={Benoît B. Mandelbrot},
title={Die fraktale Geometrie der Natur},
publisher={Birkhäuser Basel},
year={1987},
volume={},
series={},
address={Picassopl. 4, 4052 Basel, Schweiz},
edition={},
month={},
note={},
isbn={978-3-0348-5028-5}
}
@book{Falconer_KennethJ,
author={Kenneth J. Falconer},
title={Fraktale Geometrie: Mathematische Grundlagen und Anwendungen},
publisher={Spektrum Akademischer Verlag},
year={1993},
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series={},
address={Heidelberg, Berlin, Oxford},
edition={},
month={},
note={},
isbn={3860250752}
}
@mastersthesis{FachbereichsarbeitMandelbrotMenge,
author={Melanie Graf},
title={Mandelbrot-Menge: Die Mathematik hinter dem Apfelmännchen},
school={Wien; GRG 12 Rosasgasse 1-3},
year={2009},
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month={März},
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}
@unpublished{JugendForscht_Wohlgeformte_Grenzlinien,
author={Lisanne Zimmer},
title={Wohlgeformte Grenzlinien: Epizykloiden als Konvergenzgrenzen der Mandelbrotmengen},
note={Hans-und-Hilde-Coppi-Schule, Berlin},
month={Juli},
year={2010}
}
@misc{Fraktale_Die_verborgene_Ordnung_der_Natur_Mandelbrot_und_seine_Welt,
author = {Stiopka Nasreddin},
year = {2017},
note = {\textit{Fraktale Die verborgene Ordnung der Natur Mandelbrot und seine Welt} In: YouTube [online].
13.12.2011 [Zugriff am: 22.06.2022].
Verfügbar unter \url{https://www.youtube.com/watch?v=qqRiZWGwk-A}}
}
@misc{MandelbrotmengeHAWHamburgVorlesung,
author = "{Weitz HAW Hamburg}",
year = {2017},
note = {\textit{Die Mandelbrotmenge} In: YouTube [online]. 04.10.2017
[Zugriff am: 22.06.2022].
Verfügbar unter \url{https://www.youtube.com/watch?v=5TzqfheD3rQ}}
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@misc{Die_Mandelbrot-Menge_Theorie_und_Implementation,
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year = {2019},
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[Zugriff am: 22.06.2022]. Verfügbar unter \url{https://www.youtube.com/watch?v=5TzqfheD3rQ}}
}
@misc{WikiBenoitMandelbrot,
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year = {2022},
note = {\textit{Benoît Mandelbrot} [online].
San Francisco: Wikipedia Foundation Inc., 14.03.2022
[Zugriff am: 22.06.2022]. Verfügbar unter
\url{https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Beno\%C3\%AEt_Mandelbrot&oldid=221115155}}
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@misc{WikiMandelbrotMenge,
author = "{WIKIPEDIA FOUNDATION INC.}",
year = {2022},
note = {\textit{Mandelbrot-Menge} [online].
San Francisco: Wikipedia Foundation Inc., 16.06.2022
[Zugriff am: 22.06.2022]. Verfügbar unter
\url{https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mandelbrot-Menge&oldid=223745342}}
}
% BibTex Wikipedia ( Misc )
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